TEOREMA DE PIERRE FERMAT (MATEMATICAS)

LARRAÑAGA TORRÓNTEGUI RAMÓN ANTONIO

Diplomado y Maestría en Desarrollo Humano FESC- Universidad Nacional Autónoma de México.

El gran enigma de Fermat, un teorema fácil de formular y difícil de demostrar, se enseña en la escuela. Pierre Fermat creó geometría analítica (y le introdujo métodos algebraicos, integración), hizo mucho por la teoría de números, pero al mismo tiempo trabajó como abogado. Sus obras no fueron publicadas durante su vida.

El 16 de agosto de 1601, en Francia, cerca de Toulouse, en la ciudad gascona de Beaumont-de-Lomagne, cerca de Montauban-on-Tarn, afluente del Garona, nació un hijo del consejero Dominique Fermat y su esposa Francoise. El consejero Fermat era un hombre respetado y rico, un comerciante de cuero, pero quería que su hijo estudiara en la universidad: para ello, Pierre fue enviado a Toulouse para estudiar derecho. Después de Toulouse, estudió en Burdeos y Orleans y sólo a los 30 años se graduó como abogado en la universidad, pero decidió dedicarse al servicio público y en 1631 se convirtió en asesor de la cámara de casación del Parlamento de Toulouse; en otras palabras, aceptó peticiones de la población.

Ese mismo año se casó con la hija de la consejera de la Cámara de Casación, Louise de Long, y pasó toda su vida (feliz o no) en este cargo. Fermat tuvo cinco hijos y la tranquila vida provinciana contribuyó a los estudios mesurados: al abogado le gustaban los idiomas (era políglota) y le gustaban las matemáticas; incluso discutió con Rene Descartes (sobre el método incorrecto para resolver problemas; el tacto y la cortesía de Fermat llevaron la disputa a una conclusión amistosa) también se hizo amigo de Pascal.

En 1648, Fermat se convirtió en miembro de la Cámara de Edictos de la ciudad de Castres y la partícula “de” apareció en su apellido; durante la epidemia de peste de 1652 enfermó, pero sobrevivió: la muerte de muchos colegas le permitió convertirse en juez parlamentario; en 1654 hizo el único viaje de su vida: esas son todas las circunstancias de su vida. Pierre de Fermat murió el 12 de enero de 1665 en Castres, tenía 64 años. Durante la Revolución Francesa, su tumba se perdió.

El mundo le debe mucho al hijo mayor de Fermat, Clement-Samuel: en 1670 publicó una colección de obras de Pierre de Fermat (cartas y artículos). Las obras clásicas completas de Fermat en tres volúmenes aparecieron mucho más tarde: fueron publicadas por el especialista en historia de las matemáticas Paul Tannery en París en 1896. No conocemos - debido al paso del tiempo - todos los detalles de su vida, pobre en acontecimientos externos, pero la huella que dejó en las matemáticas es tal que el interés, no disminuye aún hoy.

En su tiempo libre, Fermat estudiaba matemáticas y mantenía correspondencia con los principales científicos de su tiempo. Tenía talento y tenía intuición científica: se ocupaba de las cuestiones más importantes de la ciencia moderna. Parecería que era un abogado aficionado de provincia qué no se podía esperar mucho de él. Tuvo relación con Pascal, Descartes, Cavalier, Torricelli y Huygens.

Fermat trabajó en diversas ramas de las matemáticas: hizo descubrimientos en geometría analítica, teoría de números y análisis. Hizo mucho por el cálculo integral: como Kepler, representó una figura compuesta de pequeños elementos, de modo que cada uno de ellos pudiera equipararse aproximadamente a una figura con un área conocida, como un triángulo.

Gracias a sus intuiciones, Fermat redujo el cálculo del área de una figura a un problema algebraico, a la suma de una progresión geométrica. Por ejemplo, ¿cómo se encuentra, según Fermat, la cuadratura de una hipérbola? Su área debe dividirse mentalmente en franjas rectangulares estrechas, que se pueden representar como rectángulos. Las áreas de los polígonos forman una progresión geométrica decreciente infinita, y la tarea es encontrar la suma de la progresión; como puedes ver, un truco puramente algebraico. Es interesante que en aquellos días el álgebra fuera conocida como matemática de segunda clase, una herramienta útil para las necesidades de los matemáticos que se veían obligados a recurrir a las cosas cotidianas, pero, en esencia, los métodos de Fermat traducen un problema geométrico a un lenguaje analítico.

Fermat encontró una manera de encontrar el máximo y el mínimo de una función, es decir, precedió al cálculo diferencial descubierto por Newton. El propio Newton escribió que el trabajo de Fermat lo impulsó a crear análisis. Sin embargo, fue Fermat quien creó la teoría de los números.

La “Aritmética” de Diofanto, publicada en 1621 en Francia, fue un libro de referencia para Fermat, quien lo leyó y comentó atentamente; y las notas al margen de Diofanto muestran la intuición del genio de Fermat y las peculiaridades de su inducción. Además, a Fermat le encantaban los problemas aritméticos complejos y los compartía con sus contemporáneos: desde cuadrados y cubos mágicos hasta teoremas aritméticos. Fue entonces cuando descubrió lo que se conoce como el pequeño teorema de Fermat. El propio Fermat, en notas al margen de la Aritmética de Diofanto, a menudo dejaba sus conjeturas sin pruebas. El primer matemático que encontró la demostración fue Leibniz, de cuyos manuscritos se desprende que el descubrimiento se hizo antes de 1683, pero no se publicó, por lo que la primera demostración del pequeño teorema fue publicada por Leonard Euler en 1736.

Euler demostró (1749) otro teorema, hoy conocido como teorema de Fermat-Euler: la demostración le costó 7 años de trabajo, el propio Fermat lo demostró con el “método inductivo de descenso infinito” que inventó y publicado en 1879; sin embargo, Euler entendió el principio a partir de los comentarios de las cartas de Fermat y lo aplicó con éxito. Este es el teorema más popular en matemáticas. Su estado es simple y puede ser comprendido por un escolar, pero la prueba se buscó durante más de trescientos años y no se encontró hasta 1994.

Desde que se conoció el teorema, muchas mentes han luchado por resolverlo; existen algunas formas particulares de resolverlo. Así, Leonard Euler lo demostró en 1770 para el caso n=3; en el siglo XIX, el teorema se resolvió para n=5, 7 y para otros casos especiales. Pero todos querían una solución común completa y hermosa. La engañosa simplicidad de la formulación y la claridad de la condición dieron fama al Gran Teorema: eminentes matemáticos y aficionados buscaron su solución; El teorema se considera el poseedor del récord por el número de demostraciones incorrectas.

El famoso matemático David Hilbert señaló en el Congreso de Matemáticas de 1900 que la búsqueda de una prueba del teorema de Fermat cambió y desarrolló toda la teoría de los números. Se concedieron premios en metálico por su solución: en 1908, el alemán de las matemáticas Wolfskehl legó 100.000 marcos alemanes por una demostración general correcta del teorema. Pero la Primera Guerra Mundial devaluó la moneda.

Los entusiastas buscadores de demostraciones fueron llamados “Fermatistas” y muchas revistas de matemáticas sucumbieron publicaron en 1972. En 2016, Andrew Wiles recibió el Premio Abel por su demostración del último teorema de Fermat. Mucha gente hoy sueña con simplificar su engorrosa prueba, por lo que es demasiado pronto para decir que se ha fijado el fin de la historia.